• ◄
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• ►

Глава 4. Использование теории ожидаемой полезности при принятии решений

4.7. Построение функции полезности

Теория ожидаемой полезности действительно объясняет многие феномены поведения человека в ситуации риска и может использоваться при принятии решений. Но существенной проблемой является то, что для конкретного ЛПР функция полезности неизвестна! Поскольку она описывает степень психологического удовлетворения благами данного лица, для ее построения невозможно использовать только объективные оценки. В любом случае она базируется на субъективных оценках, которые могут быть получены только путем опросов, анкетирования или анализа поведения разных людей в схожих рисковых ситуациях. Но не существует двух абсолютно одинаковых людей и полностью идентичных условий. Кроме того, выбор в искусственно предложенных при анкетировании обстоятельствах может существенно отличаться от решения, который этот же человек примет в схожих, но реальных условиях! Поэтому точное построение функции полезности весьма проблематично. Тем не менее, это можно пытаться сделать, и ниже мы рассмотрим один из подходов к решению данной задачи.

Функцию полезности можно построить по точкам. Каждое значение получается в результате обработки ответа ЛПР на вопрос о выборе одной из двух альтернатив. Одна - рисковая, другая - детерминированная. В результате ответа необходимо оценить, при каких параметрах эти две альтернативы будут с точки зрения ЛПР равноценны. Тогда, исходя из равенства их ожидаемых полезностей, можно оценить значение функции полезности для заданного значения богатства. Чтобы было более понятно, рассмотрим пример.

Человеку предлагается ответить на следующий вопрос анкеты:

Формально, ЛПР, обладающему начальным богатством х₀=100 т.р., предлагается выбрать из двух альтернатив:

• рисковая А представляет собой простую лотерею А{50, 500, 0.5};
• безрисковая В гарантированно обещает S т.р.

Рассмотрим альтернативу А. Ее ожидаемый исход может быть рассчитан по общей формуле математического ожидания:

(т.р.)

Ожидаемая полезность альтернативы А равна:

Mu_A = p u(x₁) + (1-p) u(x₂) = 0.5 u(50) + 0.5 u(500)

Самой функции полезности u(x) мы не знаем. Но нам известны некоторые ее свойства, например, то, что она возрастающая. Другим важным свойством, еще не упоминавшимся, является ее "нечувствительность" к линейным преобразованиям. Напомним, что линейные преобразования включают возможность прибавить или вычесть постоянные значения, а также умножить или разделить на постоянную величину, отличную от нуля. Пусть функция u(x) получена путем линейных преобразований из функции g(x) :

u(x) = c₁ g(x) + c₂, где c₁, c₂ - const, c₁ ≠ 0

Тогда, благодаря свойству функции полезности u(x) будет описывать ту же систему предпочтений, что и g(x). Для сравнения альтернатив важны не абсолютные значения полезности, а то, как они соотносятся между собой. Если до преобразования выполнялось неравенство:

g(x₁) > g(x₂),

то после линейных преобразований порядок сохранится, и полезность исхода х₁ по-прежнему будет выше полезности исхода х₂:

u(x₁) > u(x₂).

Это свойство позволяет нам принять за ноль значение функции полезности для любого конкретного значения х и установить любое единичное деление для измерения полезности. Поэтому, чтобы было проще строить u(x), примем:

u(50) = 0

u(500) = 1

Значит, нам известны две точки, через которые проходит график искомой функции полезности u(x): О₁(50, 0) и О₂(500, 1) (см. рис.4.11а).

Рис.4.11а. Ожидаемая полезность рисковой альтернативы А.

Ожидаемая полезность альтернативы А при таком нормировании функции полезности будет равна 0.5:

Mu_A = 0.5 u(50) + 0.5 u(500) = 0.5 × 0 + 0.5 × 1 = 0.5

Чтобы альтернативы А и В были равноценны, их ожидаемые полезности должны быть равны:

Mu_A = Mu_B

Ожидаемая полезность альтернативы В равна полезности гарантированной суммы S, так как она детерминирована:

Mu_B = u(S)

Тогда

u(S) = Mu_А = 0.5

То есть график u(x) должен проходить через точку с координатами (S, Mu_А), в нашем случае (S, 0.5) (см. рис.4.11б).

Рис.4.11б. Ожидаемая полезность безрисковой альтернативы В.

В зависимости от того, какую сумму S назвал ЛПР при ответе на вопрос анкеты, график может оказаться выпуклым как вверх, так и вниз.

Если названная ЛПР сумма S₁ будет меньше ожидаемого исхода рисковой альтернативы

S₁ < MA,

это означает, что человек предпочитает пусть и меньший, но гарантированный выигрыш, негативно относится к риску, и его функция полезности имеет выпуклый вверх график.

Если же выбранная ЛПР сумма больше ожидаемого выигрыша,

S₂ > MA,

значит, мы имеем дело с лицом, склонным к риску и готовым поучаствовать в лотерее. Его привлекает шанс получить выигрыш и не очень пугает возможность потерять часть средств. Для такого человека функция полезности будет выпуклая вниз.

В любом случае у нас уже есть три точки, через которые проходит график u(x): О₁(50, 0), О₂(S, 0.5), О₃(500, 1). Мы можем построить его хотя бы приблизительно (см.рис.4.11б).

Обычно при анкетировании задают несколько вопросов с разными альтернативами и/или сочетаниями параметров x₀, x₁, x₂, p. Это позволяет строить график по большему количеству точек, что повышает его точность. Однако, к сожалению, приходится признать, что надежность таких оценок не высока.

Наверх

• ◄
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• ►

Дата обновления: 25.09.2014