Всем > Теория риска > Глава 4 > 4.5.Мера неприятия риска
Глава 4. Использование теории ожидаемой полезности при принятии решений
4.5.Мера неприятия риска
До настоящего момента мы делили людей в зависимости от их отношения к риску на три типа: рискофобы, рискофилы и нейтралы. Но на принятие решения влияет не только общая направленность, но и степень толерантности к риску. Действительно, два рискофоба в одинаковых ситуациях могут выбрать разные альтернативы, потому что их "сила отторжения" риска различна. Что же может служить мерой неприятия риска? По каким показателям можно судить, насколько человек толерантен к риску?
В предыдущем параграфе мы отметили готовность человека, не склонного к риску, платить за его отсутствие. Это дает возможность использовать количественные характеристики такой готовности в качестве меры неприятия риска.
Действительно, чем сильнее человек опасается риска, тем больше он согласен заплатить за его отсутствие. Эта готовность платить (willingness to pay) может быть количественно измерена, как минимум, двумя показателями:
- величиной максимальной страховой премии, на которую согласен ЛПР;
- величиной так называемой "премии за риск".
Премия за риск может быть представлена как в абсолютных, так и в относительных величинах (как доля от максимальной страховой премии).
Рассмотрим эти характеристики подробнее на примере гипотетической ситуации с человеком, не склонным к риску и обладающим начальным богатством х0 денежных единиц. Предположим, что с вероятностью р может произойти убыток в размере у денежных единиц.
Дискретная случайная величина Y, описывающая данный убыток, может быть записана как простейшая лотереяY{y, 0, p}.
Начальное богатство детерминировано и равно х0. Но поскольку убыток случаен, то конечное богатство также является случайной величиной Х:
Х = x0 - Y
Распределение этой СВ имеет следующий вид:
- с вероятностью р конечное богатство равно (х0 - у), а
- с вероятностью (1 - р) оно останется неизменным и равным х0.
Данная схема описывает типичную ситуацию так называемого "чистого" риска, который несет в себе возможность только потерять и не предполагает возможность обогатиться. В лучшем случае все просто останется, как есть.
График полезности для рассматриваемой ситуации приведен на рис.4.5.
Рис.4.5. Полезность возможных исходов конечного богатства.
Ожидаемое конечное богатство МХ составляет:
MX = M(x0 - Y) = M(x0) - MY , где
MY - ожидаемый убыток, который может быть найден по общей формуле математического ожидания для дискретной СВ:
Так как x0 - детерминированная величина, то ее математическое ожидание равно самому значению:
M(x0) = x0
Таким образом:
MX = x0 - MY
Поскольку мы рассматриваем ситуацию с позиции ЛПР, не склонного к риску, то ожидаемая полезность конечного богатства MuX оказывается меньше полезности ожидаемого конечного богатства u(MX) (см.рис.4.6). Значит ЛПР хотел бы избавиться от риска, даже если за это он должен заплатить некоторую сумму.
Рис.4.6. Полезность ожидаемого конечного богатства u(MX) и ожидаемая полезность конечного богатства MuX.
Одним из самых распространенных способов передачи чистых рисков является страхование. За фиксированную плату, которая называется страховой премией, принимающая сторона (страховая компания или страховщик) обязуется возместить передающей стороне возможный убыток, если тот наступит.
Решение застраховаться на случай наступления убытка y будет означать следующее.
Во-первых, богатство уменьшится на величину уплаченной страховой премии Π и составит (x0 - Π).
Во-вторых, даже если риск реализуется, и произойдет убыток, страховая компания его полностью возместит. То есть конечное богатство при наступлении убытка не изменится и составит по-прежнему (x0 - Π). Таким образом, ситуация перестает быть рискованной.
Итак, у ЛПР есть две альтернативы:
Альтернатива А: с вероятностью р потерять часть богатства y или с вероятностью (1 - p) не потерять ничего (это первоначальная ситуация без страхования), и
Альтернатива В: гарантированно потерять часть богатства Π такую, что Π < y, но избавиться от случайности (это вариант со страхованием).
Для конкретного человека и заданной рисковой ситуации выбор наилучшей альтернативы зависит от величины страховой премии Π. Если страховая компания запросит слишком большую плату, то даже очень осторожный человек может предпочесть не страховаться. Однако, как правило, страховая премия Π настолько меньше возможного убытка y, что данная альтернатива выглядит предпочтительней.
Какую же сумму Π готов заплатить ЛПР, чтобы избавится от риска?
В рамках рассматриваемой теории страхование с премией Π будет выгодным, если ожидаемая полезность альтернативы B со страхованием будет выше ожидаемой полезности варианта А без страхования:
MuB > MuА
Граничным случаем, когда обе альтернативы эквивалентны, является равенство их ожидаемых полезностей:
MuB = MuА
Ожидаемая полезность альтернативы А (без страхования) составляет:
Ожидаемая полезность альтернативы В (со страхованием) равна полезности конечного богатства после уплаты страховой премии Π, поскольку эта величина является детерминированной и не изменится, даже если убыток реализуется:
MuB = u(x0 - Π)
Предельная страховая премия, которую готов заплатить ЛПР, может быть найдена из равенства ожидаемых полезностей этих двух альтернатив:
u(x0 - Π ) = p u(x0 - y) + (1-p) u(x0)
Используя понятие, введенное нами в предыдущем параграфе, можно сказать, что сумма (x0 - Π) является детерминированным эквивалентом рискованной альтернативы А. На графике полезности этот детерминированный эквивалент находится как абсцисса точки пересечения функции полезности и горизонтальной прямой, проходящей на уровне ожидаемой полезности альтернативы А (см. рис.4.7).
Рис.4.7. Максимальная страховая премия Π.
Если запрашиваемая страховой компанией плата будет равна максимальной премии Π, то тогда обе альтернативы (страховать или не страховать) являются эквивалентными. Если же стоимость страхования меньше, то альтернатива В будет более предпочтительной.
Размер максимальной страховой премии может служить мерой неприятия риска, поскольку, чем выше эта сумма, тем сильнее человек боится убытков и стремится переложить их на страховщика. Однако в структуре максимальной страховой премии можно выделить объективную и субъективную составляющие (см. рис.4.8).
Рис.4.8. Структура максимальной страховой премии. Рисковая премия π.
Объективная составляющая, равная ожидаемому убытку MY, представляет собой "чистую" цену риска. Она определяется только вероятностью и тяжестью убытков и не зависит от отношения ЛПР к риску. Ожидаемый убыток MY одинаков как для рискофоба, так и для нейтрала, либо рискофила, поскольку он рассчитывается исходя из характеристик самого риска и не связан с функцией полезности.
Субъективная составляющая, напротив, зависит не только от объективных параметров риска, но и субъективного отношения ЛПР к риску, которое определяет форму функции полезности. Эту составляющую π называют "премия за риск" (risk premium) или "премия за безопасность" (safety premium). От чего же зависит ее величина?
Во-первых, премия за риск зависит от размеров начального богатства. Еще Бернулли предположил, что полезность изменяется пропорционально относительному, а не абсолютному приращению капитала. Если это допущение справедливо, то, чем больше начальное богатство х0, тем слабее влияет убыток y на изменение ожидаемой полезности. Значит, рисковая премия π для больших уровней богатства будет ниже, чем для маленьких.
Во-вторых, рисковая премия зависит от разброса убытка относительно ожидаемого значения. Это интуитивно понятно - чем шире рассеивание, тем больший убыток можно получить. Следовательно, рисковая премия будет больше.
Эту идею можно подтвердить и в рамках используемой нами упрощенной модели. Разброс случайной величины характеризуется дисперсией DY или среднеквадратическим отклонением σY. Дисперсия DY дискретного случайного убытка Y может быть найдена по общей формуле:
Как уже было показано:
MY = p y
Тогда,
DY = σY2 = p(1 - p)y2
Из полученной зависимости видно, что дисперсия простейшего чистого убытка DY тем выше, когда:
- возможный убыток у больше (тогда крайние исходы случайной величины разнесены на большее расстояние друг от друга), и
- вероятность убытка ближе к 50% (максимум выражения р(1 - р) достигается как раз при р = 0.5).
Проиллюстрируем это, сравнив два случайных убытка Y1 и Y2, предполагающих возможность наступления одинакового ущерба у с вероятностями р1 = 0.5 и р2 = 0.1 соответственно (см.рис.4.9). Даже визуально можно отметить, что рисковая премия для убытка Y1 больше, чем для Y2 . Если рассмотреть еще один убыток Y3 с вероятностью ущерба р3 = 0.9, то окажется, что, несмотря на больший ожидаемый убыток MY3, рисковая премия будет такой же, как и для Y2. Это объясняется тем, что их вероятности отличаются от 0.5 на одну и ту же величину. Следовательно, выражения р(1 - р) в формуле для дисперсии этих убытков равны.
Рис.4.9. Влияние вероятности наступления убытка на величину рисковой премии.
Третий фактор, влияющий на величину рисковой премии - степень неприятия риска. Это также логически объяснимо: чем меньше человек склонен к риску, тем больше он готов заплатить за страхование. На графике "повышенное" неприятие риска выражается большей кривизной (выпуклостью) функции полезности. Как можно заметить на рис.4.10, чем сильнее искривлен график, тем больше рисковая премия.
Рис.4.10. Влияние кривизны графика функции полезности на величину рисковой премии.
Данный фактор является наиболее субъективным из всех рассмотренных. Именно он объясняет, почему два рискофоба, находясь в одинаковых условиях, могут выбрать разные альтернативы. Просто один из них в большей степени не приемлет риск, чем второй. Поэтому у него выше готовность платить за риск (в частности, больше рисковая премия).
Дата обновления: 25.09.2014