Всем > Теория риска > Глава 3 > 3.4.Традиционные критерии сравнения рисковых альтернатив
Глава 3. Принятие решений в условиях риска
3.4. Традиционные критерии сравнения рисковых альтернатив
Если после применения принципов доминирования у нас осталось несколько эффективных альтернатив, то выбрать среди них оптимальную можно с помощью специальных критериев. Рисковая альтернатива моделируется в виде случайной величины. Используя критерий, мы "заменяем" эту случайную величину (то есть набор или непрерывный диапазон исходов с присущими им вероятностями) на единственный численный показатель, который можно просто сравнивать с такими же показателями других альтернатив. В условиях риска в качестве критериев традиционно используются отдельные численные характеристики случайных величин, а также их комбинации, в частности:
- предельные значения - максимальное или минимальное значения;
- мода;
- математическое ожидание;
- дисперсия;
- среднеквадратическое отклонение;
- коэффициент вариации.
Сразу оговоримся, что для сравнения альтернатив в условиях риска формально можно применять и некоторые критерии, используемые в условиях неопределенности. Однако это, как правило, не оправданно, поскольку тогда мы не используем все доступные сведения об альтернативах (а именно - не учитываем имеющуюся информацию о вероятностном распределении). Как следствие, решение во многом будет зависеть не от объективных данных, а от допущений, что сделает его менее объективным.
3.4.1. Критерий предельного значения
Если исходы альтернатив распределены на ограниченном множестве (интервале), то для их сравнения можно ориентироваться на предельные (крайние) значения. При этом обычно смотрят на худший исход, что соответствует уже рассмотренному в п.2.7 критерию Вальда. Для оценки альтернатив, исходы которых выражены в позитивных показателях (прибыль, доход, выигрыш), выбирают нижнюю границу интервала (минимальное значение). Если в качестве исходов фигурируют положительные значения, характеризующи убытки, расходы, проигрыш, смотрят на верхнее крайнее значение, соответствующее максимально возможному убытку.
В первом случае оптимальной будет альтернатива с максимальным значением критерия, во втором - с минимальным.
Применение критерия предельного значения имеет смысл, если исходы альтернатив образуют ограниченное множество (интервал), и ЛПР является крайним пессимистом.
Тем не менее, подобный подход нередко применяется для принятия решений об удержании или передаче рисков. Анализируя возможные опасные ситуации, руководство компании старается определить убытки, которые могут возникнуть при наихудшем сценарии развития аварии или катастрофы. Это необходимо, чтобы понять, сможет ли фирма самостоятельно покрыть последствия, или же следует передать часть риска в страхование (перестрахование). Для оценки таких убытков, в частности, используются показатели:
- probable maximum loss (вероятный максимальный убыток);
- maximum forseeable loss (максимальный прогнозируемый убыток);
- maximum liossible loss (максимально возможный убыток).
Они отличаются разными подходами к формированию наихудших условий и/или сценария катастрофы, исходя из которых оценивается максимальный убыток.
3.4.2. Критерий наиболее вероятного значения
Как следует из названия, оценкой альтернативы по данному критерию является исход, имеющий наибольшую вероятность. Численная характеристика случайной величины, которая соответствует такому критерию, называется "мода". В отечественной литературе по теории вероятностей и статистике она обычно обозначается Мо.
Для альтернативы Хi, представленной в виде дискретной случайной величины, определение моды Moi выглядит следующим образом:
Moi = xik , pk = max(pj), j = 1..M
Для непрерывной случайной величины мода соответствует значению, при котором достигается максимум функции плотности вероятности f(x):
fi (Moi) = max(fi(x)), ∀ x
Поскольку мода представляет собой конкретное значение случайной величины, она имеет ту же размерность, что и сама СВ.
Использование критерия наиболее вероятного значения оправданно, когда случайные величины являются "унимодальными", то есть имеющими только один максимум pk или f(x). В противном случае, когда мод несколько, однозначно выбрать значение данного критерия для альтернативы не представляется возможным.
Использование критерия наиболее вероятного значения представляется целесообразным в ситуациях, когда у ЛПР есть возможность принять решение только один раз (а не многократно), и альтернативы имеют ярко выраженные моды.
Если исходы альтернатив представляют собой выигрыши (прибыль, доходы), оптимальной будет альтернатива с максимальным значением критерия наиболее вероятного значения:
Х* = Хk, Mok = max(Moi), i = 1..N
3.4.3. Критерий ожидаемого значения
При использовании критерия ожидаемого значения (или как его еще называют - критерия Байеса) альтернативы оценивают по величине математического ожидания исходов. Оно равно средневзвешенному значению исходов по вероятности.
В литературе можно встретить разные варианты обозначений математического ожидания:
МХ, M(X), M[X], Е(Х), Е[Х], mX
В нашей книге мы будем использовать первое обозначение.
Для альтернативы Хi, смоделированной с помощью дискретной случайной величины, математическое ожидание определяется по формуле:
В случае непрерывной СВ суммирование "превращается" в интегрирование:
Для стандартных типов распределений выведены формулы расчета численных характеристик, в том числе и для математического ожидания в зависимости от параметров распределения.
Математическое ожидание имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Если исходы представляют собой показатели, подлежащие максимизации (выигрыш, прибыль), оптимальной будет та альтернатива, для которой значение критерия ожидаемого значения будет наибольшим:
Х* = Хk, MХk = max(MXi), i = 1..N
Критерий ожидаемого значения хорошо "работает" в повторяющихся ситуациях, когда ЛПР регулярно принимает решения в сходных условиях. Систематически выбирая альтернативу по данному критерию, ЛПР, вероятнее всего, получит в среднем результат, близкий к ожидаемому.
Недостатком рассматриваемого критерия является то, что он не учитывает, как сильно "разбросаны" исходы относительно ожидаемого значения. Возьмем две альтернативы А и В (см.табл.3.3), имеющие одинаковые математические ожидания прибыли. Однако рассеивание у А значительно шире, что делает более вероятными большие отклонения от ожидаемых значений. Если ЛПР негативно относится к риску, он выбрал бы альтернативу В. Но по критерию ожидаемого значения обе альтернативы эквивалентны.
| Альтернативы | Состояния природы | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | |
| Вероятности состояний | |||
| 0.25 | 0.50 | 0.25 | |
| Исходы | |||
| A | 0 | 200 | 400 |
| B | 150 | 200 | 250 |
3.4.4. Критерии вариабельности
Рассмотренные выше в настоящем параграфе критерии ориентировались на значения, которые характеризовали самое плохой, самый вероятный и средневзвешенный по вероятности исходы. Выбор по данным критериям сводился к принципу: "чем больше, тем лучше".
Все перечисленные критерии не учитывали степень разброса исходов. Среди численных характеристик случайной величины есть такие, которые помогают оценить именно это свойство. Они тоже могут использоваться в качестве критериев для сравнения альтернатив в условиях риска. К таким характеристикам относятся:
- дисперсия;
- среднеквадратическое отклонение;
- коэффициент вариации.
Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. В отечественной литературе обычно обозначается как
DX, D[X], D(X).
В зарубежных источниках встречается обозначение Var(X) (от англ. variance). При этом важно не путать дисперсию Var и критерий оценки риска VaR (Value-at-Risk), рассматриваемый в следующем параграфе.
Дисперсия исходов альтернативы Хi, представленной дискретной случайной величиной, рассчитывается по формуле:
Для непрерывной СВ, как и в случае с математическим ожиданием, формула предусматривает интегрирование:
Для стандартных типов распределений выведены формулы расчета дисперсии, которые можно найти в литературе по теории вероятностей и статистике.
Для практических расчетов может оказаться полезной следующая формула, справедливая как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин:
DXi = M(Xi2) - (MXi)2
Здесь M(Xi2) представляет собой математическое ожидание квадрата случайной величины Хi:
или
Недостатком дисперсии как критерия для оценки степени рассеивания является ее размерность. Как видно из формул, единицей измерения дисперсии является квадрат размерности самой случайной величины. То есть, если исходы выражены в рублях, дисперсия будет рассчитана в рублях в квадрате. Это неудобно для практических расчетов и анализа. Поэтому чаще используют другую численную характеристику - среднее квадратическое отклонение (сокращенно - СКО) σ, равное квадратному корню из дисперсии:
Этот показатель уже можно линейно комбинировать с математическим ожиданием, поскольку он имеет ту же размерность.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют абсолютный разброс случайной величины относительно ее математического ожидания. Чем они выше - тем больше рассеивание, и тем вероятнее существенные отклонения. Однако в реальности бывает правильнее ориентироваться не на абсолютные, а на относительные показатели.
Рассмотрим, например, две альтернативы А (MA = 100, σA = 15) и В (MB = 200, σB = 20). Если ориентироваться на величину СКО, то А выглядит лучше, так как абсолютный показатель разброса вроде бы меньше. Однако для альтернативы В СКО составляет всего 10% от математического ожидания, а у А 15%. При больших ожидаемых значениях даже значительное СКО не всегда является показателем серьезного рассеивания.
При сравнении альтернатив может использоваться относительный показатель разброса, который называется коэффициент вариации. Он рассчитывается как отношение среднеквадратического отклонения случайной величины к ее математическому ожиданию, взятому по модулю (при условии, что матожидание не равно нулю):
Этот показатель не имеет размерности и отражает именно относительный разброс. В некоторых источниках по статистике можно найти численные границы, определяющие степень вариабельности исходя из коэффициента вариации, например:
- менее 0.10 - слабая вариабельность;
- от 0.10 до 0.25 - умеренная;
- свыше 0.25 - высокая.
Но на самом деле, на практике не всегда стоит ориентироваться на подобные формальные границы. Необходимо учитывать характер риска, особенности ситуации, объем доступной информации и т.д.
С позиции ЛПР, не склонного к риску, чем более предсказуема ситуация, тем лучше. Поэтому альтернативы, которые обеспечивают меньшую вероятность серьезных отклонений от ожидаемых значений, в его глазах выглядят предпочтительнее:
Х* = Хk, DХk = min(DXi), i = 1..N
Х* = Хk, σk = min(σi), i = 1..N
Х* = Хk, vk = min(vi), i = 1..N
Самым серьезным недостатком рассмотренных критериев вариабельности является то, что они не учитывают сами абсолютные значения исходов. При оценке только по этим критериям "плохие", но гарантированные последствия будут выглядеть лучше, чем "хорошие", но имеющие некоторый разброс. Более того, доминируемая альтернатива может оказаться лучше по вариабельности, если разброс ее исходов меньше. Поэтому использование критериев вариабельности "в чистом виде" весьма ограничено. Чаще всего они применяются при многокритериальном сравнении (например, сравнение ценных бумаг по двум показателям "ожидаемая доходность - СКО доходности") или в составе обобщенных критериев.
Дата обновления: 25.09.2014