Всем > Теория риска > Глава 3 > 3.3.Принцип доминирования по вероятности
Глава 3. Принятие решений в условиях риска
3.3. Принцип доминирования по вероятности
Поиск оптимального решения в условиях риска, как и в ситуации неопределенности, происходит за счет постепенного сужения множества альтернатив. Можно уменьшить число рассматриваемых стратегий путем отбрасывания неэффективных, применяя уже рассмотренные принципы абсолютного доминирования и доминирования по состояниям. Кроме того, в ситуации риска, когда известны распределения исходов, действуют принципы так называемого стохастического доминирования первого и второго рода. В нашей работе мы будем использовать только первый из них, который определяет доминирование по вероятности.
Если исходы альтернатив представляют собой выигрыш (прибыль), то принцип доминирования по вероятности может быть сформулирован следующим образом:
рисковая альтернатива А доминирует альтернативу В, если на всем множестве возможных исходов D вероятность получить больший исход у А всегда не ниже, чем у В, и хотя бы для одного исхода - строго выше:
<=>
P(A ≥ x) ≥ P(B ≥ x), ∀ x ∈ D,
P(A ≥ xj) > P(B ≥ xj), xj ∈ D,
Из этого также следует, что для доминирующей альтернативы А вероятность получить меньший исход всегда не выше, чем у доминируемой В и, как минимум, для одного значения - эта вероятность должна быть строго ниже:
<=>
P(A < x) ≤ P(B < x), ∀ x ∈ D,
P(A < xj) < P(B < xj), xj ∈ D,
Для математической записи этого принципа воспользуемся определением функции распределения. Значение функции распределения F(x) случайной величины Х в точке х показывает вероятность получить значение меньше, чем х:
F(х) = P(X < х)
Тогда принцип доминирования по вероятности можно записать так:
<=>
FA(x) ≤ FB(x), ∀ x∈ D,
FA(xj) < FB(xj), xj∈ D,
Если СВ А доминирует по вероятности СВ В, то функция распределения А на всем множестве допустимых значений не превышает функцию распределения В, и хотя бы для одного значения исхода строго меньше.
Это означает, что график функции распределения альтернативы А либо всегда идет ниже графика функции распределения В, либо совпадает с ним на одних участках и идет ниже на других. Это является достаточно наглядным признаком доминирования по вероятности, поэтому его удобно применять.
Для иллюстрации принципа доминирования по вероятности рассмотрим небольшой пример. Пусть, имеется две альтернативы Х1 и Х2, которые при трех состояниях природы j = 1..3 обеспечивают различные выигрыши xij (см.табл.3.1). Вероятности состояний природы pj, а, значит, и исходов известны. Ситуация соответствует условиям риска.
| Альтернативы (Xi) | Состояния природы ( j ) | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | |
| Вероятности состояний ( pj ) | |||
| 0.25 | 0.35 | 0.40 | |
| Исходы ( xij ) | |||
| Х1 | 25 | 40 | 50 |
| X2 | 20 | 55 | 35 |
Альтернативы могут быть представлена в виде дискретных случайных величин, ряды распределений и функции распределения которых приведены в табл.3.2.
| Исходы xj | Альтернатива X1 | Альтернатива X2 | F2 (xj ) - F2 (xj ) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| pj | F1 (xj ) | pj | F2 (xj ) | ||
| < 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 20 | 0 | 0 | 0.25 | 0 | 0 |
| 25 | 0.25 | 0 | 0 | 0.25 | -0.25 |
| 35 | 0 | 0.25 | 0.40 | 0.25 | 0 |
| 40 | 0.35 | 0.25 | 0 | 0.65 | -0.40 |
| 50 | 0.40 | 0.6 | 0.35 | 0.65 | -0.05 |
| > 50 | 0 | 1.00 | 0 | 1.00 | 0 |
Доминирование по вероятности означает, что функция распределения доминирующей альтернативы всегда не больше функции распределения доминируемой, и хотя бы для одного исхода строго меньше. В нашем примере функция распределения F1(x) альтернативы Х1 всегда оказывается меньше или равна функции распределения F2(x) альтернативы Х2. Это можно увидеть, если рассчитать разность между функциями распределения второй и первой альтернатив (последний столбец в табл.3.2). Она здесь либо равна нулю, либо отрицательна.
Значит, F1(x) ≤ F2(x), и альтернатива Х1 доминирует по вероятности Х2 :
Если бы в этом столбце находились ненулевые значения с разными знаками, значит, при одних значениях х больше F1(x), при других - F2(x) . То есть доминирования по вероятности не было бы.
Графически доминирование Х1 над Х2 подтверждается тем, что график F1(x) на всем диапазоне х оказывается либо ниже графика F2(x), либо совпадает с ним (см.рис.3.3).
Рис.3.3. Графическая иллюстрация доминирования по вероятности.
Также существует стохастическое доминирование второго рода, учитывающее рассеивание случайных величин, но в нашей работе оно не рассматривается (подробнее о нем можно прочитать, например, в [Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. - М.: Высшая школа экономики, 2005. - 380 с.]).
Дата обновления: 25.09.2014