Всем > Теория риска > Глава 3 > 3.2.Случайная величина
Глава 3. Принятие решений в условиях риска
3.2. Случайная величина
3.2.1. Понятие случайной величины
В ситуации риска нам известны исходы той или иной альтернативы и вероятности, с которыми данные исходы могут наступить. То есть нам известно вероятностное распределение исходов, поэтому они могут быть представлены (смоделированы) в виде случайной величины. В этом параграфе мы напомним сведения из теории вероятностей о случайных величинах и способах их определения, которые будут необходимы для дальнейшего изучения материала книги.
Согласно классическому определению, случайной называется величина, значение которой может меняться от опыта к опыту случайным образом. То есть в каждом "испытании" она может принимать одно единственное значение из некоторого множества. При этом нельзя предсказать, какое именно значение она примет.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная СВ может принимать только конечное или счетное множество значений. Непрерывная СВ может принимать любое значение из некоторого замкнутого или открытого интервала, в том числе и бесконечного.
3.2.2. Закон распределения случайной величины
Случайная величина определяется своим законом распределения. Закон распределения считается заданным, если указаны:
- множество возможных значений случайной величины (в т.ч. бесконечное) и
- вероятность попадания случайной величины в произвольную область этого множества, либо закон (формула), позволяющая рассчитать такую вероятность.
По сути, вероятность представляет собой показатель, характеризующий возможность появления случайной величины в данной области.
Наиболее общим и распространенным способом определения вероятностей различных значений случайной величины является задание функции распределения вероятностей, которую сокращенно называют функцией распределения.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), задающая вероятность того, что СВ примет значение меньше конкретного значения х, то есть:
F(x) = P(X < x)
где
Х ("икс большое") - обозначает случайную величину,
х ("икс маленькое") - конкретное значение из множества возможных значений случайной величины.
Функция распределения неубывающая. При х, стремящемся к минус бесконечности, она стремится к нулю, а при х, стремящемся к плюс бесконечности - к единице.
Форма представления закона распределения случайной величины может быть различна и зависит от того, какая это СВ - дискретная или непрерывная.
Из определения функции распределения следуют следующие зависимости:
вероятность того, что случайная величина примет значения в интервале от а до b:
Р(a ≤ Х < b) = F(b) - F(a)
вероятность того, что случайная величина примет значения не меньше, чем а:
Р(Х ≥ a) = 1 - F(a)
3.2.3. Способы представления распределения дискретной случайной величины
Дискретная случайная величина может быть полностью задана своей функцией распределения или рядом (таблицей) распределения. Они могут быть представлены в табличной, аналитической или графической формах.
Допустим, случайная величина Х может принять три возможных значения 25, 45 и 50 с вероятностями 25%, 35% и 40% соответственно. Ряд распределения этой СВ будет выглядеть следующим образом:
| xj | 25 | 45 | 50 |
|---|---|---|---|
| pj | 0.25 | 0.35 | 0.40 |
Функция распределения этой же случайной величины, которая показывает вероятность непревышения конкретного значения, может быть записана так:
На рис.3.1 представлены графические способы задания закона распределения этой дискретной случайной величины Х.
Рис.3.1. Графики ряда распределения и функции распределения дискретной случайной величины.
На графике ряда распределения вероятности pj реализации каждого возможного значения хj представлены столбиками, высота которых равна вероятности. Сумма высот всех М столбиков (т.е. всех вероятностей) равна единице, поскольку они охватывают все возможные значения х:
Иногда вместо столбиков изображают ломанную, соединяющую вероятности реализации значений СВ.
Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение меньше, чем а, равна сумме вероятностей всех исходов, меньших а:
По определению, это равно значению функции распределения в точке х = а. Если мы нанесем на координатную плоскость значения функции распределения, когда х "пробегает" все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности, мы получим график функции распределения. Для дискретной СВ он ступенчатый. На интервале от минус бесконечности до первого возможного значения х1 она равна нулю, поскольку принять какое-либо значение на этом интервале невозможно.
Далее каждое возможное значение хj увеличивает функцию распределения на величину, равную вероятности наступления этого значения pj. Между двумя последовательными значениями хj и xj+1 функция распределения не изменяется, поскольку других возможных значений х там нет, и скачков не происходит. В конечном итоге, в точке последнего возможного значения хМ происходит скачок на величину вероятности рМ, и функция распределения достигает предельного значения, равного единице. Далее график идет на этом уровне параллельно оси х. Выше он никогда не поднимается, так как вероятность не может быть больше единицы.
3.2.4. Способы представления распределения непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина также задается своей функцией распределения, представленной, как правило, в аналитическом виде. Кроме того, она может быть полностью описана функцией плотности вероятности f(x), которая представляет собой первую производную от функции распределения F(x):
f(x) = F'(x)
Функция плотности вероятности неотрицательна, а ее интеграл в бесконечных пределах равен единице.
Возьмем в качестве примера непрерывную случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Ее функция плотности вероятности задается аналитически формулой вида:
Здесь mX и σX параметры распределения. mX характеризует местоположение центра распределения, а σX - рассеивание относительно этого "центра".
Аналитическая запись ее функции распределения выглядит следующим образом:
Графики функции распределения и функции плотности вероятности представлены на рис.3.2.
Рис.3.2 Графики функции плотности вероятности f(x) и функции распределения F(x) непрерывной случайной величины (на примере нормально распределенной случайной величины с параметрами mX = 5, σX = 1).
График функции распределения любой случайной величины всегда неубывающий, стремящийся к единице. Плотность вероятности характеризует "скорость" роста функции распределения. На интервалах, где плотность высокая, функция распределения растет быстрее. Там, где плотность равна к нулю, функция распределения не изменяется, и ее график идет параллельно оси х. В нашем примере наибольшие значения плотность имеет в окрестности точки х = mX (для нормально распределенных СВ ее еще иногда называют центром рассеивания).
Значение функции распределения F(x) в произвольной точке а равно вероятности того, что случайная величина X примет значение меньше а. Эта вероятность соответствует заштрихованной площади под графиком функции плотности вероятности f(x) на интервале от -∞ до а.
Изложенные в настоящем параграфе сведения о случайных величинах из теории вероятностей понадобятся нам далее для анализа методов принятия решений в условиях риска.
Дата обновления: 25.09.2014