Всем > Теория риска > Глава 2 > 2.12.Обобщенный критерий Гурвица
Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности
Принцип построения обобщенного критерия Гурвица похож на предыдущий. Всем принимаемым в расчет исходам присваивается некоторый "удельный вес". Значение критерия для альтернативы рассчитывается как взвешенная сумма ее исходов. Однако чтобы избежать недостатков "предшественника", обобщенный критерий учитывает все исходы каждой альтернативы.
Тогда, формула для расчета обобщенного критерия для i-й альтернативы может быть записана следующим образом:
, где
λq - коэффициент для q-го значения i-й альтернативы,
0≤λ q≤1, λ 1 + ... + λ q + ... + λ М = 1
Получается, что для использования обобщенного критерия Гурвица необходимо назначить М (!) коэффициентов λq. Конечно, можно было бы это сделать произвольно. Но при большом количестве состояний М это становится весьма трудоемко, так как необходимо, чтобы коэффициенты удовлетворяли как минимум двум условиям:
1) сумма всех весовых коэффициентов должна быть равна единице:
2) величины коэффициентов должны отражать отношение ЛПР к неопределенности:
Чтобы не назначать коэффициенты произвольно по отдельности были предложены формализованные методы их расчета, один и которых мы и рассмотрим ниже.
Порядок применения обобщенного критерия Гурвица
1. Упорядочиваем матрицу игры таким образом, чтобы исходы каждой альтернативы располагались в порядке неубывания. При этом в одном столбце матрицы могут оказаться исходы, относящиеся к разным состояниям - это не существенно. В результате вместо "старой" матрицы игры Х мы получаем "новую" матрицу Y, где в каждой строке исходы располагаются от самого маленького до самого большого:
xi1, xi2,..., xij,..., xiM → yi1 ≤ yi2 ≤... ≤ yiq ≤... ≤ yiM
2. Рассчитываем суммы исходов по каждому столбцу новой матрицы Y:
3. Рассчитываем сумму все исходов матрицы:
4. Далее коэффициенты λq определяются в зависимости от отношения ЛПР к неопределенности.
4.1. Если ЛПР оптимист, то коэффициент λq для любого q-го столбца определяется по формуле:
Поскольку для каждой альтернативы соблюдается условие:
yi1 ≤ yi2 ≤... ≤ yiq ≤... ≤ yiM
то y1 ≤ y2 ≤... ≤ yq ≤... ≤ yM
и, следовательно:
λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λq ≤ ... ≤ λM
То есть, чем лучше исход, тем больше удельный вес ему присваивается.
Кроме того, так как
,
то обеспечивается выполнение равенства:
Таким образом, полученные формальным путем коэффициенты отвечают необходимым условиям.
4.2. Если ЛПР пессимист, то определение коэффициентов немного сложнее. Мы должны обеспечить соблюдение условия: худшим исходам - большие веса. Это можно сделать, зеркально поменяв местами коэффициенты, рассчитанные для оптимистичного ЛПР:
а) при нечетном количестве состояний М:
б) при четном количестве состояний М:
Формальная запись зависимости для расчета коэффициентов λq при пессимистично настроенном ЛПР выглядит следующим образом:
5. Теперь, имея все значения коэффициентов λq, можно рассчитать величину обобщенного коэффициента Гурвица для каждой i-й альтернативы:
6. Оптимальной является стратегия, у которой наибольшее значение обобщенного критерия Гурвица:
Х* = Хk, H'k = max(H'i), i=1..N
Применим обобщенный критерий Гурвица для поиска оптимального решения в условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) для оптимистически и пессимистически настроенного ЛПР.
Будем действовать в соответствии с изложенным выше алгоритмом.
1. Упорядочим матрицу игры, расположив исходы в порядке неубывания (см.табл.2.4).
2. Рассчитаем суммы yq по столбцам упорядоченной матрицы:
y1 = y11 + y21 = 25 + 20 = 45
y2 = y12 + y22 = 45 + 25 = 70
y3 = y13 + y23 = 50 + 60 = 110
3. Рассчитаем сумму всех исходов:
y = y1 + y2 + y3 = 45 + 70 + 110 = 225
Альтернативы (Xi) | Номер столбца (q) | ||
---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | |
Х1 | 25 | 45 | 50 |
X2 | 20 | 25 | 60 |
yq = ∑yiq | 45 | 70 | 110 |
y = ∑ yq | 225 | ||
λqO оптимист | 0.20 | 0.31 | 0.49 |
λqП пессимист | 0.49 | 0.31 | 0.20 |
4. Рассчитаем коэффициенты для каждого ЛПР.
4.1. коэффициенты для ЛПР оптимиста:
λ1 О = 45/225 = 0.2
λ2 О = 70/225 = 0.31
λ3 О = 110/225 = 0.49
4.2. коэффициенты для ЛПР пессимиста рассчитывать нет необходимости - главное, правильно поменять местами уже найденные коэффициенты:
5. Рассчитать значения обобщенного критерия Гурвица для каждого проекта для каждого ЛПР:
5.1. ЛПР-оптимист
H'1O = λ1O y11 + λ2O y12 + λ3O y13 = 0.20×25+ 0.31×45 + 0.49×50 = 43.4
H'2O = λ1O y21 + λ2O y22 + λ3O y23 = 0.20×20+ 0.31×25 + 0.49×60 = 41.1
5.2. ЛПР-пессимист
H'1П = λ1 П y11 + λ2 П y12 + λ3 П y13 = 0.49×25+ 0.31×45 + 0.20×50 = 36.2
H'2 П = λ1 П y21 + λ2 П y22 + λ3 П y23 = 0.49×20+ 0.31×25 + 0.20×60 = 29.6
6. Сравнить полученные значения обобщенного коэффициента Гурвица. Оптимальными для каждого ЛПР являются проекты с максимальным значением критерия:
ЛПР-оптимист:
43.4 > 41.1 => H'1 О > H'2 О => X* = X1
ЛПР-пессимист:
36.2 > 29.6 => H'1 П > H'2 П => X* = X1
Здесь и для оптимистичного, и для пессимистичного ЛПР оптимальным по обобщенному критерию Гурвица является первый проект.
Благодаря тому, что в оценке учитываются все исходы, обобщенный критерий Гурвица лишен недостатка обычного критерия. Кроме того, формальный подход к расчету коэффициентов максимально снижает степень субъективности. ЛПР достаточно определить лишь общий характер своего отношения к неопределенности - оптимистичный или пессимистичный, тогда как при использовании обычного критерия требовалось еще и самому задать уровень оптимизма.
Дата обновления: 25.09.2014