Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности

2.12. Обобщенный критерий Гурвица

Принцип построения обобщенного критерия Гурвица похож на предыдущий. Всем принимаемым в расчет исходам присваивается некоторый "удельный вес". Значение критерия для альтернативы рассчитывается как взвешенная сумма ее исходов. Однако чтобы избежать недостатков "предшественника", обобщенный критерий учитывает все исходы каждой альтернативы.

Тогда, формула для расчета обобщенного критерия для i-й альтернативы может быть записана следующим образом:

Формула , где

λ_q - коэффициент для q-го значения i-й альтернативы,

0≤λ_q≤1, λ₁ + ... + λ_q + ... + λ_М = 1

Получается, что для использования обобщенного критерия Гурвица необходимо назначить М (!) коэффициентов λ_q. Конечно, можно было бы это сделать произвольно. Но при большом количестве состояний М это становится весьма трудоемко, так как необходимо, чтобы коэффициенты удовлетворяли как минимум двум условиям:

1) сумма всех весовых коэффициентов должна быть равна единице:

Формула

2) величины коэффициентов должны отражать отношение ЛПР к неопределенности:

а) для оптимистичного ЛПР лучшие исходы должны иметь больший "вес", причем, чем лучше исход, тем больше "вес";
б) для пессимистичного ЛПР - все наоборот - больший "вес" у худших исходов, и чем хуже исход - тем больше "вес":

Чтобы не назначать коэффициенты произвольно по отдельности были предложены формализованные методы их расчета, один и которых мы и рассмотрим ниже.

Порядок применения обобщенного критерия Гурвица

1. Упорядочиваем матрицу игры таким образом, чтобы исходы каждой альтернативы располагались в порядке неубывания. При этом в одном столбце матрицы могут оказаться исходы, относящиеся к разным состояниям - это не существенно. В результате вместо "старой" матрицы игры Х мы получаем "новую" матрицу Y, где в каждой строке исходы располагаются от самого маленького до самого большого:

x_i1, x_i2,..., x_ij,..., x_iM → y_i1 ≤ y_i2 ≤... ≤ y_iq ≤... ≤ y_iM

2. Рассчитываем суммы исходов по каждому столбцу новой матрицы Y:

Формула

3. Рассчитываем сумму все исходов матрицы:

Формула

4. Далее коэффициенты λ_q определяются в зависимости от отношения ЛПР к неопределенности.

4.1. Если ЛПР оптимист, то коэффициент λ_q для любого q-го столбца определяется по формуле:

Формула

Поскольку для каждой альтернативы соблюдается условие:

y_i1 ≤ y_i2 ≤... ≤ y_iq ≤... ≤ y_iM

то y₁ ≤ y₂ ≤... ≤ y_q ≤... ≤ y_M

и, следовательно:

λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_q ≤ ... ≤ λ_M

То есть, чем лучше исход, тем больше удельный вес ему присваивается.

Кроме того, так как

Формула ,

то обеспечивается выполнение равенства:

Формула

Таким образом, полученные формальным путем коэффициенты отвечают необходимым условиям.

4.2. Если ЛПР пессимист, то определение коэффициентов немного сложнее. Мы должны обеспечить соблюдение условия: худшим исходам - большие веса. Это можно сделать, зеркально поменяв местами коэффициенты, рассчитанные для оптимистичного ЛПР:

а) при нечетном количестве состояний М:

Формула

б) при четном количестве состояний М:

Формула

Формальная запись зависимости для расчета коэффициентов λ_q при пессимистично настроенном ЛПР выглядит следующим образом:

Формула

5. Теперь, имея все значения коэффициентов λ_q, можно рассчитать величину обобщенного коэффициента Гурвица для каждой i-й альтернативы:

Формула

6. Оптимальной является стратегия, у которой наибольшее значение обобщенного критерия Гурвица:

Х* = Х_k, H'_k = max(H'_i), i=1..N

Пример применения обобщенного критерия Гурвица

Применим обобщенный критерий Гурвица для поиска оптимального решения в условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) для оптимистически и пессимистически настроенного ЛПР.

Будем действовать в соответствии с изложенным выше алгоритмом.

1. Упорядочим матрицу игры, расположив исходы в порядке неубывания (см.табл.2.4).

2. Рассчитаем суммы y_q по столбцам упорядоченной матрицы:

y₁ = y₁₁ + y₂₁ = 25 + 20 = 45

y₂ = y₁₂ + y₂₂ = 45 + 25 = 70

y₃ = y₁₃ + y₂₃ = 50 + 60 = 110

3. Рассчитаем сумму всех исходов:

y = y₁ + y₂ + y₃ = 45 + 70 + 110 = 225

Табл.2.4. Упорядоченная матрица игры Y (для примера).
Альтернативы (X_i)	Номер столбца (q)
Альтернативы (X_i)	1	2	3
Х₁	25	45	50
X₂	20	25	60
y_q = ∑y_iq	45	70	110
y = ∑ y_q	225
λ_q^O оптимист	0.20	0.31	0.49
λ_q^П пессимист	0.49	0.31	0.20

4. Рассчитаем коэффициенты для каждого ЛПР.

4.1. коэффициенты для ЛПР оптимиста:

λ₁^О = 45/225 = 0.2

λ₂^О = 70/225 = 0.31

λ₃^О = 110/225 = 0.49

4.2. коэффициенты для ЛПР пессимиста рассчитывать нет необходимости - главное, правильно поменять местами уже найденные коэффициенты:

Формула

5. Рассчитать значения обобщенного критерия Гурвица для каждого проекта для каждого ЛПР:

5.1. ЛПР-оптимист

H'₁^O = λ₁^O y₁₁ + λ₂^O y₁₂ + λ₃^O y₁₃ = 0.20×25+ 0.31×45 + 0.49×50 = 43.4

H'₂^O = λ₁^O y₂₁ + λ₂^O y₂₂ + λ₃^O y₂₃ = 0.20×20+ 0.31×25 + 0.49×60 = 41.1

5.2. ЛПР-пессимист

H'₁^П = λ₁^П y₁₁ + λ₂^П y₁₂ + λ₃^П y₁₃ = 0.49×25+ 0.31×45 + 0.20×50 = 36.2

H'₂^П = λ₁^П y₂₁ + λ₂^П y₂₂ + λ₃^П y₂₃ = 0.49×20+ 0.31×25 + 0.20×60 = 29.6

6. Сравнить полученные значения обобщенного коэффициента Гурвица. Оптимальными для каждого ЛПР являются проекты с максимальным значением критерия:

ЛПР-оптимист:

43.4 > 41.1 => H'₁^О > H'₂^О => X* = X₁

ЛПР-пессимист:

36.2 > 29.6 => H'₁^П > H'₂^П => X* = X₁

Здесь и для оптимистичного, и для пессимистичного ЛПР оптимальным по обобщенному критерию Гурвица является первый проект.

Благодаря тому, что в оценке учитываются все исходы, обобщенный критерий Гурвица лишен недостатка обычного критерия. Кроме того, формальный подход к расчету коэффициентов максимально снижает степень субъективности. ЛПР достаточно определить лишь общий характер своего отношения к неопределенности - оптимистичный или пессимистичный, тогда как при использовании обычного критерия требовалось еще и самому задать уровень оптимизма.

Наверх

Дата обновления: 25.09.2014