Всем > Теория риска > Глава 2 > 2.11.Критерий Гурвица
Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности
2.11.Критерий Гурвица
Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы xi max и xi min каждой альтернативы:
xi max = max(xij), xi min = min(xij), j = 1..M
Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1. Формула для расчета критерия Гурвица для i-й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:
Hi (λ) = λ xi max + (1 - λ) xi min
Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:
Х* = Хk , Hk (λ) = max(Hi (λ)), i = 1..N
Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ.
Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода xi min в оценке альтернативы должен быть выше, чем для xi mах. Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5, исключая последнее значение.
При λ = 0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.
Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ = 1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.
Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5.
Пример применения критерия Гурвица
В условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3). Порядок действий таков:
1. Найдем максимальные xi max и минимальные xi min исходы для каждого проекта:
x1 max = max(45, 25, 50) = 50 x1 min = min(45, 25, 50) = 25
x2 max = max(20, 60, 25) = 60 x2 min = min(20, 60, 25) = 20
2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:
ЛПР-оптимист (λ=0.8):
H1 (0.8) = λ x1 max + (1 - λ) x1 min = 0.8×50 + (1 - 0.8)×25 = 45
H2 (0.8) = λ x2 max + (1 - λ) x2 min = 0.8×60 + (1 - 0.8)×20 = 52
ЛПР-пессимист (λ=0.3):
H1 (0.3) = λ x1 max + (1- λ) x1 min = 0.3×50 + (1 - 0.3)×25 = 32.5
H2 (0.3) = λ x2 max + (1- λ) x2 min = 0.3×60 + (1 - 0.3)×20 = 32
3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:
ЛПР-оптимист (λ = 0.8):
45 < 52 => H1(0.8) < H2(0.8) => X* = X2
ЛПР-пессимист (λ = 0.3):
32.5 < 32 => H1(0.3) > H2(0.3) => X* = X1
Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.
Недостатком обычного критерия Гурвица является его "нечувствительность" к распределению исходов между крайними значениями. Это может приводить к неправильным решениям. Например, альтернатива А{100; 150; 200; 1000} по критерию Гурвица с "оптимистичным" коэффициентом λ = 0.7 лучше альтернативы В{100; 750; 850; 950}, так как:
HА (0.7) = 0.7×1000 + (1 - 0.7)×100 = 730
HВ (0.7) = 0.7×950 + (1 - 0.7)× 100 = 695
Однако, если посмотреть внимательнее на возможности, которые предоставляет В, то становится заметно, что она выгоднее. Ее "внутренние" исходы (750 и 850) существенно лучше, чем у А (150 и 200), а максимальный выигрыш лишь немногим хуже (950 против 1000). В реальной жизни логичнее было бы выбрать В.
Дата обновления: 25.09.2014